¡Hola Mauricio!
Pues en transporte público tienes varias opciones. Por un lado tienes el Airport Link, que es un tren que conecta el aeropuerto con la ciudad de Sídney, entre otras, y que yo diría que es la opción más cómoda, aunque bastante más cara (14-18$). Como la ciudad está bastante próxima al aeropuerto, en tren se tarda menos de 15 minutos y el Airport Link sale cada 10 minutos aproximadamente.
Por otro lado tienes el bus 400 que también conecta el aeropuerto con la ciudad y sale más económico, entre 2.40$ y 3.80$ según la terminal desde la que lo tomes. Con el bus 400 puedes ir hasta la estación de tren urbano y ya enlazar el viaje hasta el punto exacto de la ciudad que tengas que ir. Incluso combinando bus+tren urbano te saldrá más económico que el Airport Link, pero tardarás un poquito más.

En definitiva, si vas con un presupuesto amplio y quieres ahorrar tiempo, puedes optar por el tren; si llevas un presupuesto más ajustado y no tienes prisa, yo te recomendaría el bus.

Por supuesto tienes otras opciones como shuttles privados (ya sea minibus o un coche solo para ti), taxis e incluso utilizando Uber, pero te saldrá más carete. ¡Un saludo!